Eksponent matrike
Eksponent matrike je matrična funkcija, ki se izvaja nad kvadratnimi matrikami. Funkcija je podobna kot običajna naravna eksponentna funkcija. Če je realna ali kompleksna matrika z razsežnostjo , potem njeno naravno eksponentno matriko označujemo z ali in je enaka
- .
Lastnosti
[uredi | uredi kodo]Če sta in kompleksni matriki z razsežnostjo in sta in poljubni kompleksni števili, potem ima vrednost eksponenta matrike, naslednje lastnosti ( je enotska matrika):
- e0 = I.
- eaX ebX = e(a + b)X.
- eXe−X = I.
- če je XY = YX potem je eXeY = eYeX = e(X + Y).
- Če je Y obrnljiva potem je eYXY−1 = Y eXY−1.
- exp(XT) = (exp X)T, kjer XT pomeni transponirana matrika matrike X. Iz tega sledi, da je takrat, ko je X simetrična tudi eX simetrična in, če je X poševnosimetrična potem je eX ortogonalna.
- exp(X*) = (exp X)*, kjer pa X* pomeni konjugirano transponirano matriko matrike X. Iz tega sledi, da je takrat, ko je X Hermitska matrika tudi eX Hermitska matrika in, če je X poševnohermitska matrika (antihermitska), potem je eX unitarna matrika.
Določanje vrednosti matričnih eksponentov
[uredi | uredi kodo]V nadaljevanju je podanih nekaj načinov določanja vrednosti eksponentov matrik:
Diagonalna matrika
[uredi | uredi kodo]Kadar je matrika diagonalna
- izračunamo vrednost njenega eksponenta tako, da izračunamo eksponent vsakega elementa na glavni diagonali
To omogoča , da določimo vrednost eksponenta diagonalizabilne matrike. Kadar je matrika takšna, da velja in je diagonalna matrika, potem velja .
Nilpotentnost
[uredi | uredi kodo]Matrika je nilpotentna, če velja za poljubno celo število . V tem primeru lahko izračunamo eksponent matrike neposredno iz razvoja v vrsto, ker se vrsta konča po končnem številu členov
- .
Uporaba
[uredi | uredi kodo]V linearnih diferencialnih enačbah
[uredi | uredi kodo]Eksponent matrike lahko uporabljamo v sistemih linearnih diferencialnih enačb. Običajna oblika linearne diferencialne enačbe
ima rešitev eCty(0).
Če vzamemo vektor
potem lahko napišemo linearno diferencialno enačbo kot
- .
To nam pa da
Glej tudi
[uredi | uredi kodo]Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]- Eksponent matrike na MathWorld (angleško)
- Eksponent matrike na PlanethMath Arhivirano 2011-06-04 na Wayback Machine. (angleško)
- Eksponent matrike (angleško)